bluestein算法

我们熟知的FFT算法实际上是将一个多项式在2n个单位根处展开,将其点值对应相乘,并进行逆变换。然而,由于单位根具有“旋转”的特征(即$w_{m}^{j}=w_{m}^{j+m}$),若多项式次数大于二分之长度,FFT将进行一次长度为2n的循环卷积。bluestein的算法是解决了在任意长度上的循环卷积问题。

 

我们知道,任何一个n次多项式都可以被n+1个点值进行表示,因此如果我们选取所有形如$w_{n+1}^{i}$的单位根并带入多项式,进行类似于FFT的变化(这里没有证明),理应得到正确的结果。

 

设多项式A为$\sum_{i=0}^{n}{a_i*x^i}$,$F_k$为$A(w_{n+1}^{k})$,则$F_k=\sum_{i=0}^{n}{a_i*w_{n+1}^{ik}}$

 

考虑ik的另外一种组合含义,即有两个盒子,每个盒子分别有i个球和k个球,求有多少种拿出两个球且分别属于两个盒子的方法,因此$ik=\tbinom{i+k}{2}-\tbinom{i}{2}-\tbinom{k}{2}$。它的意义在下面推导中可见。

 

因此$F_k=\sum_{i=0}^{n}{a_i*w_{n+1}^{\tbinom{i+k}{2}-\tbinom{i}{2}-\tbinom{k}{2}}}=w_{n+1}^{-\tbinom{k}{2}}\sum_{i=0}^{n}{a_i*w_{n+1}^{-\tbinom{i}{2}}*w_{n+1}^{\tbinom{i+k}{2}}}$

注意到(i+k)-(i)=k,令$A_{-i}=a_i*w_{n+1}^{-\tbinom{i}{2}}$,$B_i=w_{n+1}^{\tbinom{i}{2}}$。因此,A和B的卷积的第k项即为$\frac{F_k}{w_{n+1}^{-\tbinom{k}{2}}}$。由于A的下标为负数,我们将A的下标集体加上n。于是,一次bluestein操作花了三次长度为4n的FFT操作。

 

将多项式转化为点值表达后,我们依葫芦画瓢地将对应位置相乘、进行相应的逆变换(即取单位根的共轭)。而此部分正确性的证明过程是与FFT类似的。

 

例题:poj2821。对于循环卷积B=A*C,求C。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<math.h>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iomanip>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long int ll;
 7 typedef double ld;
 8 const int maxn=(1<<19)+5;
 9 const ld pi=acos(-1);
10 struct com
11 {
12     ld x,y;
13     com(ld a=0,ld b=0):x(a),y(b){}
14     com operator+(const com&A){return com(x+A.x,y+A.y);}
15     com operator-(const com&A){return com(x-A.x,y-A.y);}
16     com operator*(const com&A){return com(x*A.x-y*A.y,x*A.y+y*A.x);}
17     com operator/(const ld&d){return com(x/d,y/d);}
18     com operator/(const com&A){return com(x,y)*com(A.x,-A.y)/(A.x*A.x+A.y*A.y);}
19 }A[maxn],B[maxn];
20 int r[maxn];
21 inline void DFT(com*A,int limit,int type)
22 {
23     for(int i=1;i<limit;++i)
24     {
25         r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(limit>>1):0);
26         if(i<r[i])
27             swap(A[i],A[r[i]]);
28     }
29     for(int len=2;len<=limit;len<<=1)
30     {
31         com d(cos(pi*2/len),sin(pi*2/len)*type);
32         for(int i=0;i<limit;i+=len)
33         {
34             com w(1,0);
35             for(int j=0,p1=i,p2=i+len/2;j<len/2;++j,++p1,++p2)
36             {
37                 com x=A[p1],y=A[p2]*w;
38                 A[p1]=x+y;
39                 A[p2]=x-y;
40                 w=w*d;
41             }
42         }
43     }
44 }
45 com tmp1[maxn],tmp2[maxn];
46 inline com get(int k,int n,int type)
47 {
48     ll g=(ll)k*(k-1)/2;
49     return com(cos(pi*2/(n+1)*g),sin(pi*2/(n+1)*g)*type);
50 }
51 inline void bluestein(com*A,int n,int type)
52 {
53     int limit=1;
54     while(limit<4*n+1)
55         limit<<=1;
56     for(int i=0;i<limit;++i)
57         tmp1[i]=tmp2[i]=com(0,0);
58     for(int i=0;i<=n;++i)
59         tmp1[n-i]=A[i]*get(i,n,-type);
60     for(int i=0;i<=n*2;++i)
61         tmp2[i]=get(i,n,type);
62     DFT(tmp1,limit,1);
63     DFT(tmp2,limit,1);
64     for(int i=0;i<limit;++i)
65         tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i];
66     DFT(tmp1,limit,-1);
67     for(int i=0;i<=n;++i)
68         A[i]=tmp1[i+n]/limit*get(i,n,-type);
69 }
70 int n;
71 int main()
72 {
73     scanf("%d",&n);
74     --n;
75     for(int i=0;i<=n;++i)
76         scanf("%lf",&A[i].x);
77     for(int i=0;i<=n;++i)
78         scanf("%lf",&B[i].x);
79     bluestein(A,n,1);
80     bluestein(B,n,1);
81     for(int i=0;i<=n;++i)
82         A[i]=B[i]/A[i];
83     bluestein(A,n,-1);
84     for(int i=0;i<=n;++i)
85         A[i].x/=(n+1);
86     for(int i=0;i<=n;++i)
87         printf("%.4f\n",A[i].x);
88     return 0;
89 }
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路人甲

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