递推的思维构建与技巧实现

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文章首发于微信公众号:几何思维

递推是一种用若干步可重复运算来解决复杂问题的方法。

1.一维递推

1.1 问题描述

有一个\(n\)层的楼梯,每次只可以向上爬1层或者2层,问爬完\(n\)层共有多少种不同的方式呢?

1.2 分析

\(f(n)\)表示\(n\)层楼总共不同的方式。
假设此时位于第\(i\)层,因为每次只能爬1层或2层,所以到第\(i\)层只有2种方式。

  • 从第\(i-1\)层爬上来。
  • 从第\(i-2\)层爬上来。

所以得到递推公式为\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)。前2项之和等于第3项,其实就是斐波那契数列,
\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 \cdots \cdots\)

1.3 代码实现

f[0] = 1; f[1] = 1;
for (int i = 2; i < n; i++){
    f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]
}
cout << f[n - 1] << endl;

1.4 空间优化

每一步的递推只与前2步有关,所以只需要记录前2步的方案数,用滚动数组,而不需要开\(o(n)\)的空间。
手动赋值

int f[3];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < 10; ++i) {
    f[2] = f[1] + f[0];
    f[0] = f[1];
    f[1] = f[2];
    cout << f[2] << endl;
}

取模滚动

int f[3];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < 10; ++i) {
    f[i % 3] = f[(i - 1) % 3] + f[(i - 2) % 3];
    cout << f[i % 3] << endl;
}

如果只与前一个状态有关,比如\(f[n]=f[n-1]+1\),可以用0,1滚动,这个在动态规划中会比较常用。

int f[2], t = 0;
f[0] = 1;
for (int i = 2; i < 10; ++i) {
    t = 1 - t;
    f[t] = f[1 - t] + 1;
    cout << f[t] << endl;
}

递推和动态规划最大的区别:递推的每一步是所有方案数的加和,而动态规划在每一步递推中,需要用max,min来选取一个最优策略。本质其实都是通过重复的小规模子问题推导出大规模的结果。

1.5 时间优化

斐波那契数列递推公式很简单,但数据很大时,效率就比较低,因为递推是\(O(n)\)复杂度。
通过矩阵公式变换可将加法变为乘法
如下将递推公式放入矩阵:
\( \begin {bmatrix}1&1\\1&0\end {bmatrix} \times \begin{pmatrix}f(n-1) \\ f(n-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f(n-1)+f(n-2) \\ f(n-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f(n) \\ f(n-1)\end{pmatrix} \)
假设:
\(A=\begin {bmatrix}1&1\\1&0\end {bmatrix}\)
则:
\(A^n \times \begin{pmatrix}f(1) \\ f(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f(n+1) \\ f(n)\end{pmatrix} \)
\(A^n\)可以通过矩阵幂乘快速求出,时间复杂度为\(log_2N\),再带入上式即可获得数列值。
具体可以看另一篇递推优化-矩阵幂乘

2.多维递推

2.1 问题描述

从原点出发,每次只能向东,向北,向西走,且不能走已经走过的地方,问走\(n\)步共有多少种不同的方式呢?

2.2 分析

假设已经走到第\(i\)步,因为不能走已经走过的地方,那这一步能走的方式只会与上一步有关。因为每次走一步,要保证不走回头路,就保证不走上一步走过的地方就行了。
每次有3个选择,即向东,向北,向西。

  • \(i-1\)步向东走,那么第\(i\)步只能向北、向东。
  • \(i-1\)步向西走,那么第\(i\)步只能向北、向西。
  • \(i-1\)步向北走,那么第\(i\)步可以向北、向东,向西。

一维的\(f[n]\)只能记录一个总数,而不能记录状态,所以要再多一维记录上一步走的状态。
\(f[n][0],f[n][1],f[n][2]\)分别表示:第\(n\)步向东、向西、向北走总共不同的方式。
则有如下递推关系:

  • \(f[n][0] = f[n - 1][0] + f[n - 1][2];\)
  • \(f[n][1] = f[n - 1][1] + f[n - 1][2];\)
  • \(f[n][2] = f[n - 1][0] + f[n - 1][1] + f[n - 1][2];\)

2.3 代码实现

int f[100][3] = {0};
f[0][0] = 1;
f[0][1] = 1;
f[0][2] = 1;

for (int i = 1; i < n; ++i) {
    f[i][0] = f[i - 1][0] + f[i - 1][2];
    f[i][1] = f[i - 1][1] + f[i - 1][2];
    f[i][2] = f[i - 1][0] + f[i - 1][1] + f[i - 1][2];
}
cout << f[n - 1][0] + f[n - 1][1] + f[n - 1][2] << endl;

2.4 进一步优化

设第\(n\)步的总方案数为\(s[n], s[n]=f[n][0]+f[n][1]+f[n][2]\)
\(s[n]=2\times f[n-1][0]+2\times f[n-1][1]+3\times f[n-1][2]\)
\(s[n]=2\times s[n-1]+f[n-1][2]\)
\(f[n-1][2]=f[n-2][0]+f[n-2][1]+f[n-2][2]=s[n-2]\)
\(s[n]=2\times s[n-1]+s[n-2]\)
所以对公式变形,也可以通过一维的方式完成递推,但这个关系无法直接通过建模构造出来。

3.图递推

3.1 问题描述

在一个\(n\times m\)的二维地图中,一个人从左上角走到右下角,每次只能向右或者向下走,问到终点共有多少种不同的方式呢?

3.2 分析

假设已经位于某个位置,因为只能向右或者向下走,那上一步只能从上或者从左走过来。
\(f[i][j]\)表示走到坐标\((i,j)\)总共的方案数。
\(f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]\)

关于显示加载动态链接库模块及卸载的问题

3.3 代码实现

int f[10][10] = {0};
f[0][0] = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < m; ++j) {
        if (i - 1 >= 0) {
            f[i][j] += f[i - 1][j];
        }
        if (j - 1 >= 0) {
            f[i][j] += f[i][j - 1];
        }
    }
}

3.4 进一步思考

要到达终点,一定要向下走\(n-1\)步,向右走\(m-1\)步。
把每一步组合在一起来看,其实问题就等价于在\(n+m-2\)步中选择\(n-1\)步向下走,或者选择\(m-1\)步向右走,通过排列组合公式\(C_{n+m-2}^{n-1}\)就可以直接得到结果。

4.状态压缩递推

4.1 问题描述

在一个\(n\times n\)的棋盘中放置棋子,有一些地方不能放置。要求放置棋子时任意2个棋子不能在同1行或同1列,问放置\(k\)个棋子有多少种不同的方式呢?

4.2 分析

对于每1个位置,只会有2种情况,就是放或不放。在数据规模不大的情况下可以用DFS(深度优先搜索)枚举所有的情况就可以了。

那有没有更好的方法呢?
这个最终是要求方案总数,而不需要考虑每一步是否需要择优,所以是符合递推模型,接下来就是怎么找出递推关系。

先分析一些隐含的规律,把问题理得更清晰:

  • 每1行或者每1列都只能放置1个棋子,所以按每一行来枚举放置方法。
  • 在尝试第\(i\)行时,每一个位置\((i,j)\)能不能放置,不只是跟上一行有关,而是跟之前的所有行都有关。这就说明需要记录之前放置的方法,也就是状态。

那怎么记录之前放置的方案状态呢,这就要用到状态压缩。
状态压缩:本质就是用二进制记录对应位置的2种状态,0表示不放,1表示放。

对于\(n\)个位置,就可以用\(2^n\)个十进制数来表示所有放置的方案。

继续回到上面的问题,在尝试第\(i\)行时,能否放置跟之前的\(i-1\)行都有关,意味着需要记录之前所有行放置的状态。
但看下面2种情况,图1和图2对于在尝试放置第3行时,其实是等价的,前2列都是不能放置。也就是说这2种方案数是可以直接合并的,因为每1列也只能放一个,所以放置的方案状态也可以直接合并成一行。

\(f[i][j]\)表示前\(i\)行,放置方案为\(j\)总共的方案数。
第0行的过程如下:

第1行的过程如下:

如此递推求出\(n\)行,\(2^n\)种放置方案的总数,\(f[n][2^n]\)。因为只能放置\(k\)个棋子,所以在\(2^n\)种放置方案中找出刚好是\(k\)个棋子的方案,也就是对应的状态\(j\)转化为二进制时,有\(k\)个1。

4.3 小技巧:十进制数如何快速求对应的二进制包含1的个数呢?

目标数\(n\),通过\(n \& (n-1)\)运算,包含多少个1就刚好进行多少次该运算,可以快速求出1的个数。

4.4 代码实现

计算数\(n\)中包含1的个数

int countOne(int n) {
    int total = 0;
    while (n > 0) {
        total++;
        n &= n - 1;
    }
    return total;
}

变量定义及初始化

int i, n, k, line[8], f[2][256], num[256];

for (i = 0; i < 256; ++i) num[i] = countOne(i);

memset(f, 0, 2 * 256 * 4);
f[0][0] = 1;
int j, c, now = 0;

// 棋盘读入
for (i = 0; i < n; ++i) {
    int t = 0;
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        t <<= 1;
        cin >> ch;
        if (ch == '.') t += 1;
    }
    line[i] = t;
}

核心递推

for (i = 0; i < n; ++i) {
    now = 1 - now;
    for (j = 0; j < 256; ++j)
        if (num[j] <= k) {
            //第i行不放棋子
            f[now][j] += f[1 - now][j];
            //第i行放棋子
            for (c = 0; c < n; ++c) {
                if ((j & 1 << c) == 0 && (line[i] & 1 << c) == 0) {
                    f[now][j | 1 << c] += f[1 - now][j];
                }
            }
        }
}

// 枚举所有包含k个棋子的方案数
int ans = 0;
for (i = 0; i < 256; ++i) {
    if (num[i] == k) {
        ans += f[now][i];
    }
}
cout << ans << endl;

5.总结

递推最重要的思想,就是通过每一小步,找出与下一步之间的关系。关键在于思考问题的本质,对问题进行建模。常用\(f[i][j][k]\)等类似数组来记录,多一维就可以多记录一维状态信息,要思考上一步真正有多少个因素会影响当前步,那一般这些就是一定要记录的信息。

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路人甲

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